線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

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ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - λ) (1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

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ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- λ$ から $λ$ を引きます。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0$

ステップ 1.5.2.2

$1 - 2 λ + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2}$

ステップ 1.5.2.3

$1$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 1$

ステップ 1.5.2.4

$- 2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

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ステップ 1.7.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.7.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$λ^{2} - 2 λ + 1^{2} = 0$

ステップ 1.7.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

ステップ 1.7.1.3

多項式を書き換えます。

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 1.7.1.4

$a = λ$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(λ - 1)}^{2} = 0$

ステップ 1.7.2

$λ - 1$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 1 = 0$

ステップ 1.7.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$λ = 1$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Simplify each element.

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ステップ 3.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

$1$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.3

$0$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

ステップ 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例